解析几何没几何：双曲线（实践篇）
在解析几何中，双曲线相对椭圆更难处理，因为不能通过简单的变换变成圆，大部分平面几何方法在此不起作用. 但是，通过重新定义一些基本运算，双曲线可以变成某种意义上的“圆”，并拥有圆的某些性质.
理论依据
本文的理论体系来源于以下文章：
Zelda110
本文只给出该体系的实际应用，所使用的定义和定理的详细解释和证明在理论篇中. 本文沿用理论篇中的各定义和定理的名称，建议先阅读理论篇再阅读本文.
例1 一条直线交双曲线 $x^2-y^2=r_0^2,x^2-y^2=r_1^2$ 分别于 $A,B$ 和 $C,D$，求证：$AC=BD$.
证明 作 $OM\bot AB$ 于 $M$，由垂径定理，$M$ 是 $AB$ 中点. 同理 $M$ 是 $CD$ 中点，因此$AC=AM-CM=BM-DM=BD$.
本题证明过程与 $r_0,r_1$ 无关，因此改变 $r_0,r_1$，我们可以得到一些新的结果. 令 $r_0^2>0,r_1^2<0$（$r_1$ 为纯虚数），则可以得到本定理对一条横向双曲线和纵向双曲线同样成立. 令 $r_1=0$，则退化成半径为 $0$ 的双曲线 $x^2-y^2=0$，在平面直角坐标系中体现为等轴双曲线的两条渐进线. 配合仿射变换，我们这短短一行的过程其实证明了：一条直线交双曲线及其两条渐进线分别于 $A,B;C,D$，则 $AC=BD$.
例2 双曲线 $x^2-y^2=r^2$ 上有一点 $C$，$A,B$ 是双曲线的左右顶点. 求证：$k{CA}\cdot k{CB}=1$.
证明 因为 $\angle C$ 是双曲周角，$\angle C=\frac12\angle AOB=\frac\pi2i$，即 $AC\bot BC$. 因此 $k{CA}\cdot k{CB}=1$.
显然这里的 $AB$ 不一定要是左右顶点，它可以换成任何一对双曲线上关于原点对称的点，因为本题的本质是直角对直径.
配合仿射变换，我们其实证明了：过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 上任意一点到双曲线上两个关于原点对称的点的连线斜率乘积等于 $\frac{b^2}{a^2}$.
例3 斜率为 $k$ 的动直线交双曲线 $x^2-y^2=r^2$ 于$A,B$ 两点. 求 $AB$ 中点 $C$ 的轨迹.
解 由垂径定理，$OC\bot AB$，$k_{OC}=\frac1k$. 故 $C$ 的轨迹为直线 $y=\frac1kx$.
例4 双曲线 $x^2-y^2=r^2$ 上有一定点 $A$，动点 $B$ 在双曲线上，求 $AB$ 中点 $C$ 的轨迹.
解 由垂径定理，$OC\bot AB$. 故 $C$ 在以 $AD$ 为直径的双曲线上.
例 3 和例 4 中求轨迹的方法，其实是圆的问题中最基础、最经典的轨迹求法. 在 $\mathbb{H}$ 中理解了这些原理后，有关双曲线的轨迹问题也成了基础题.
例5 双曲线 $x^2-y^2=r^2$ 上有一定点 $A$，直线 $l:y=kx+b$ 交双曲线于 $P,Q$ 两点，且 $\angle PAQ$ 的平分线垂直于 $x$ 轴. 求证：$l$ 的斜率为定值.
证明 作 $AM/\!/y$ 轴交双曲线于 $M$. 在平面直角坐标系中，$AM$ 平分 $\angle PAQ$，故 $AP,AQ$ 关于 $AM$ 对称. 因此在 $\mathbb{H}$ 中 $AM$ 也平分 $\angle PAQ$，所以 $PM=MQ$. 由双曲线的定义，$OP=OQ$，故 $OM$ 是 $PQ$ 的垂直平分线，所以 $k=\frac1{k_{OM}}$ 为定值.
正常情况下，$\mathbb{H}$ 中的几何方法对角平分线问题束手无策. 但本题中角平分线垂直于 $x$ 轴，实质上是一个关于平行于坐标轴直线对称的关系，故可以将条件转译到 $\mathbb{H}$.
例6 双曲线 $x^2-y^2=1$ 上有一动点 $A$，过 $A$ 作双曲线切线交 $x=-1,x=1$ 于 $B,C$. $D,E$ 是双曲线的左右顶点. 求 $CD$ 和 $BE$ 交点 $F$ 的轨迹.
解 连接 $OA,OB,OC$. 由切线长定理，$AB=BD,AC=CE$. 又 $OD=OA$，故 $\triangle DOB\cong\triangle AOB(SSS)$，所以 $\angle DOB=\angle AOB$. 同理可得 $\angle AOC=\angle EOC$. 于是
$$\angle BOC=\angle AOC-\angle AOB=\frac12(\angle AOC+\angle EOC-\angle AOD)=\frac12\angle DOE=\frac12\pi i$$
即 $OB\bot OC$. 回到欧式几何，我们有 $k{OB}\cdot k{OC}=1$，所以 $k{BE}\cdot k{DC}=\frac12k{OB}\cdot\frac12k{OC}=\frac14$. 由第二定义得 $F$ 的轨迹为双曲线 $x^2-4y^2=1$.
从例 6 我们发现，有时候纯几何法无法证明的题目，利用几何方法得到部分结论，再运用少量解析关系也能起到规避计算的目的.
例7 点 $P$ 在双曲线 $C:x^2-y^2=1$ 上，过 $P$ 作直线 $l$ 交 $C$ 的两条渐进线于 $P_1,P_2$，且 $PP_2=2PP_1$. 求 $S_{\triangle OP_1P_2}$.
解 设 $l$ 与 $C$ 另一个交点为 $P’$. 作 $PP’$ 中点 $M$，由例1，$PP_1=P’P_2=PP’$. 设 $PM=x$，则有 $MP_1=3x$.
容易知道 $OP=1,OP_1=0$. 由垂径定理，$OM\bot PP_1$. 由勾股定理，$OM^2=OP^2-PM^2=OP_1^2-MP_1^2$， 即 $1-x^2=0-(3x)^2$，解得 $x=\frac i {2\sqrt2}$. 于是 $P_1P_2=6x=\frac {3i} {\sqrt2}$.
设 $P_1(a,a),P_2(b,-b)$. 由双曲长度的定义，$(a-b)^2-[a-(-b)]^2=P_1P_2^2=-\frac92$，化简得 $ab=\frac98$.
由面积行列式得到 $S_{\triangle OP_1P_2}=ab=\frac98$.
