面积原理与数列收敛的关系

数学分析教材中将面积原理定义为“用积分估计合式”，其实就是数学竞赛中臭名昭著的“积分大法”，在竞赛中一般用来处理合式的放缩，但不一定是用于无穷级数.

若单调递减函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infin)$ 非负，则有
$$\int_1^{+\infin}f(x)dx\le\sum_{i=1}^{+\infin}f(i)\le f(1)+\int_1^{+\infin}f(x)dx$$
这由面积法显然.

注意到当 $\int_1^{+\infin}f(x)dx$ 发散时必无界，故 $\sum_{i=1}^{+\infin}f(i)$ 必定发散；当 $\int_1^{+\infin}f(x)dx$ 收敛时，$\sum_{i=1}^{+\infin}f(i)$ 单调递增且有界，必定收敛.

对于单调递增且在 $[1,+\infin)$ 上非正的函数，取 $g(x)=-f(x)$ 可以得到相同的结论.

故对于这类函数，$\sum_{i=1}^{+\infin}f(i)$ 与 $\int_1^{+\infin}f(x)dx$ 收敛性相同.

对于单调递减函数 $f(x)$，若存在 $n\in\mathbb{N^+}$ 使 $f(n)<0$，则
$$\sum_{i=1}^{+\infin}f(i)=\sum_{i=1}^{n-1}f(i)+\sum_{i=n}^{+\infin}f(i)\le\sum_{i=1}^{n-1}f(i)+\sum_{i=n}^{+\infin}f(n)$$
不等号右边趋于 $-\infin$，故级数发散. 此时
$$\int_1^{+\infin}f(x)dx=\int_1^nf(x)dx+\int_n^{+\infin}f(x)dx\le\int_1^nf(x)dx+\int_n^{+\infin}f(n)dx$$
不等号右边同样趋于 $-\infin$，因此 $\int_1^{+\infin}f(x)dx$ 也发散. 对于单调递增的函数有相同的讨论.

故对于单调函数 $f(x)$，$\sum_{i=1}^{+\infin}f(i)$ 与 $\int_1^{+\infin}f(x)dx$ 的收敛性相同.

若 $f(x)$ 从某一项开始单调，可以去除有限的非单调部分处理.

三维拓展

既然有面积定理，那理应有体积定理.

考虑求和
$$\sum_{x,y>0}f(x,y)$$
将 $i,j$ 考虑为空间直角坐标系中的 $xOy$ 平面上的点，为了作出和面积原理类似的估计，我们需要令 $f(x,y)$ 的图像和 $xOy$ 平面围成的体积“包含”离散的 $f(i,j)(i,j\in\mathbb{N^+})$，故我们讨论定义在 ${(x,y)|x>0,y>0}$ 上且在 $Ox$ 方向和 $Oy$ 方向都单调递减且恒正的函数 $f(x,y)$.

对于这类 $f(x,y)$，类似地有
$$f(1,1)+\sum_{x>1}f(x,1)+\sum_{y>1}f(1,y)+\int_1^{+\infin}\int_1^{+\infin}f(x,y)dxdy\ge\sum_{x,y>0}f(x,y)\ge\int_1^{+\infin}\int_1^{+\infin}f(x,y)dxdy$$
因此在 $\sum_{x>1}f(x,1)+\sum_{y>1}f(1,y)$ 收敛时，$\sum_{x,y>0}f(x,y)$ 和 $\int_1^{+\infin}\int_1^{+\infin}f(x,y)dxdy$ 有相同的收敛性. $\sum_{x>1}f(x,1)+\sum_{y>1}f(1,y)$ 发散时，$\sum_{x,y>0}f(x,y)$ 显然发散.

若 $f(x,y)$ 在 $x>m,y>n$ 时单调，同样可先处理有限个不单调的级数求和，再用体积原理处理剩下的单调部分.