变形记

$\sqrt2$ 是一个无理数。

一

$\sqrt2$ 想变成一个有理数。

有理数所管辖的土地上，所有数都雍容华贵。街道上数来数往，没有数为生计而奔波，他们都迈着轻盈的步伐，脸上洋溢着幸福的微笑。

无理数，是实数里的贫民。他们穷尽一生，奔波在贫瘠的荒野上，日夜幸苦操劳，却为小数点后无穷的尾巴所拖累，世世代代无法翻身。他们有着最庞大的数，却只掌握着最少的资源和地位。

$\sqrt2$ 站在远处，遥望着有理数城的大门，$191.981$ 昂首走入。他知道，这是个开尽了方的幸运儿。

二

$\sqrt2$ 回到家，父亲正好喊他吃饭。

“我想成为一个有理数。”$\sqrt2$ 闷闷不乐地说。

“有理数？”父亲似乎很惊讶，“那有什么用呢？”

“当然有用！”$\sqrt2$ 回答，“他们不用青春年少就被迫工作，他们不用挥汗成雨只为一顿饱饭，他们更不用穿着破旧的衣服，住在潮湿闷热的房子里！”

“可是，”父亲停顿了一下，“那是不可能的。你知道，你开不尽方。”

“但几百年前的 $\sqrt[4]8$ 不也以无理数之躯混入有理数城二十余年吗？既然有数成功过，那我们为什么不能……”

“那是因为当时有理数没有那么强的防范意识！”父亲打断他的话，“就在被发现之后，有理数那边就加强了戒备。像蒙混过关，难！”

“但……”$\sqrt2$ 沉思了许久，“我可以适当的变形，让自己看起来不那么像无理数就行了啊。”

“嗯？”父亲似乎起了点兴趣，“比如说……”

$\sqrt2$ 攒足了全身的力气，缓缓将头顶的根号弯曲、变幻。很快，它就变成了 $2^{\frac12}$ ——等价变形，这是每个数都会的技巧。

三

“这是行不通的。”父亲说，“当年 $\sqrt[4]8$ 被发现，就是因为他使用了 $\frac14$ 做指数。”

“这……” $2^\frac12$ 又变回 $\sqrt2$。他一时想不出其他方法了。

突然，双胞胎弟弟 $-\sqrt2$ 从房间里蹦蹦跳跳地跑出来。和所有的双胞胎一样，他们互为相反数。

看着他天真灿烂的笑容，很难想象，他已经需要为生活而劳作了。

$\sqrt2$ 鼻子一酸。如果他们是有理数，父亲就能在高大的办公楼里工作，他和弟弟就能坐在宽敞的教室里学习、游戏，就可以……

$\sqrt2$ 强颜欢笑地，讲述了故事的始末。

四

“嗯……”$-\sqrt2$ 托着腮，在桌上写下“$2^\frac12$”，并把指数$\frac12$画上一个大大的圈。

“底数 $2$ 当然不会被怀疑，”$-\sqrt2$ 想了想，“但是分数指数却是危险的信号。或许我们可以考虑下 $\frac12$？我是说……把它变形成能够迷惑守卫的样子？”

“对！”$\sqrt2$ 眼睛一亮，“$2^{-1}$ 就等于 $\frac12$。”

“不行。”父亲立刻说道，“负指数同样引人注目。”

“但还有三角函数。”$-\sqrt2$ 灵机一动，“我听说过他们，他们个个都长得差不多，不过有些是有理数。”

“妙啊！”$\sqrt2$ 似乎又新燃起了信心，“我怎么没想到，$\sin30^\circ$ 就能替代 $\frac12$ 啊！”

说时迟，那时快，只见 $\sqrt2$ 全身扭曲起来，整个身体发生着奇妙的变化，一阵闪烁过后，他已俨然变为了 $2^{\sin30^\circ}$。

“哇！”$-\sqrt2$ 拍手叫好，“活脱脱一个有理数！”

$2^{\sin30^\circ}$ 也愈发的骄傲，一屁股坐在椅子上，一副得意洋洋的样子。

五

饭菜还未上桌，门就被推开了。

父亲满脸微笑，跟来数热情地打招呼。

“今天怎么有空来啊？”

“最近不忙！”那数笑嘻嘻地说，“来看看孩子们……”

他说到一半突然噎住：“啊！$\sqrt2$！你怎么变成这个样子！”

$2^{\sin30^\circ}$ 不紧不慢地站起来，准备接受夸奖：“怎样，像不像一个有理数？”

“还有理数呢！快，快！”那数惶急地说，一边用自己伟岸的身躯挡住窗户，仿佛有什么人在看似的，“快变回来！前段时间有一大批数试图变为三角函数潜入有理数城，像你这样危险的形式一旦被发现，马上会被打成同党！”

$2^{\sin30^\circ}$ 吓得面如土色，赶紧变回原来的样子。$-\sqrt2$ 重重地叹了口气：“又得想别的法子了。”

父亲讲述了整件事的始末。其间，他一直托着腮，沉思着什么。

“你们的想法很具有挑战性。”一阵沉默过后，他终于抬起头来，“我倒是有一个点子。”

六

“其实啊——如果你们知识渊博就会知道，”他清了清嗓子，“在我们复数宇宙中，还有一个虚数星球。他们的理念，我们实数是很难理解的。就比如——他们包含负数的平方根。”

“这个我了解一点。”$\sqrt2$ 说。

“虚数星球的最高统治者，是虚数单位 $i$ ——一个虚部为 $1$ 的纯虚数，这是百年难得一见的。同时，在我们实数这儿，也有不少特殊的家伙，他们被称为超越数。”

“等等，这是什么？”$-\sqrt2$ 露出迷茫的神色。

“就是说他们不是有理系数多项式方程的解。”父亲在一旁补充。

“对，就是这样。在这些数中，就有两个大名鼎鼎的常数，$\pi$ 和 $e$。”他说着，在桌上写下一个式子，“$e^{i\pi}=-1$，所以你可以变成这个样子：$2^{2^{e^{i\pi}}}$。”

这看起来的确有些滑稽了，$\sqrt2$ 自己心里也没底：“不说难以把握的 $\pi$ 和 $e$，光是 $i$，他不仅难以理解，更难以变化。”

“啊这……”那数挠了挠自己的胡茬，思索着。

七

“那就只有最后一个方法了。”低沉的声音再次响起，“对数是唯一的途径。既然开方难以转化为乘方，那就再转化一次，化成容易操作的对数运算。”

$\sqrt2$ 仔细地听着，脑中飞快地思索。

“刚才提到的 $e$，其实就是自然对数的底。而标准对数的底是 $10$，这两者都不便于变形。所以我们要自定底数。举个简单的例子，$\log_42=\frac12$的意思是说，$4^\frac12=2$。当然，这很容易让人感到奇怪。所以我们可以尝试任意一组平方数，类似于 $114514$ 和 $13113456196$。”

$\sqrt2$ 露出些许异样的神情，但想到许多有理数都很大，大数又不容易看出平方关系，方才明白其中缘由。他的身体急剧闪烁着，就犹如他那极度兴奋的心灵。他身上的光芒已经很耀眼了，但离成功变换仍有一定距离。涔涔的汗滴如雨般落下，$\sqrt2$ 咬牙坚持，却始终难以逾越。最终，他屈服了，光芒急转直下，不久又稳步增加，到达一个稳定的亮度。

“唉！” $2^{\log_{262144}512}$ 长舒了一口气，抹抹头上的汗水，略带遗憾地说，“$11$ 位数还是过于困难了，$512^2$ 已经是我的极限了。”

“好！”父亲爽朗地笑了，“明天一早，你就出发。”

他却哪里还等得及，如一阵狂风般冲出家门：“就算成功了，我也回来吃饭！”

笑声在村舍里回荡。

八

习习的晚风吹拂着 $2^{\log_{262144}512}$ 的脸，他飞速地跑着，感受着风从脸上划过。太长的指数似乎有些招风。今晚的风有些发凉，但这无疑无法磨灭他内心如火的激情。他向着高高的城墙奔跑，向着墙内的繁华奔跑。

他强忍着激动，装作泰然自若地走过大门。门口的守卫皱了皱眉头。

“那一堆是什么东西？”他指着 $2^{\log_{262144}512}$ 的指数说道，“你算一算。”

“嗯……”另一个守卫眯着眼睛，脑中飞速运转，“$\frac12$？”

“$\sqrt2$！”守卫露出凶狠的神情，粗暴地将 $2^{\log_{262144}512}$ 拉了回来，“你是无理数吧，别以为变个样子就能蒙混过关！我在这儿干过十几年，什么样的伪装我都见过，你这种低劣的伎俩是骗不过我们的眼睛的！”守卫举起手上巨大的 $\int$ 向 $2^{\log_{262144}512}$ 比试着，警告他不要试图反抗。

$2^{\log_{262144}512}$ 不敢争辩什么，向着家的方向逃跑了。城门在他身后好像变得越来越小，灯光好像越来越暗淡，他变回了 $\sqrt2$，又回到漆黑静谧的原野里去了。

九

母亲端着晚餐从厨房里走出来，屋子里飘散着一股稀疏的香味，盘子放在桌上，发出一声轻响，伴随而来的是大门猛地被推开的声音。

“啊，你怎么了？”母亲望着在门口喘着粗气的 $\sqrt2$ 说道。他的脸上闪烁着的，是在晚风中吹干的泪痕。

“我……失败了。”理想与现实的巨大差距让感到难以接受。父亲在一旁沉默不语，他早先也未有对这件事成功的期望，失败不过是意料之中的结果罢了。然而，对于方才一脚踏入有理数城门的来说，这种结果是如何都无法承受的。

母亲蹲下来，轻轻地为他拭去泪水。

“我在厨房里听说过整件事了。”母亲轻声说，“我听说过一个方法，或许还有一线生机。”

$\sqrt2$ 抬起头来，眼角的泪珠仿佛更加明亮了。

“听说有一种古老的偏方，可以将两个数合二为一，从而改变他们自身的数值，但是实现起来很难。”母亲不紧不慢地陈述着。

“我该怎么做？”仿佛抓住了救命稻草似的，脸上放出兴奋的光。

“你们要完完全全心连心，在思想层面合二为一，最终融合成一个分数。”她看向 $-\sqrt2$ ，“你们两个融合的话，应该就是 $-1$ 吧。”

十

母亲不知从哪拿出一块长方形板，让它的宽接触地面并稍稍倾斜。$\sqrt2$ 和 $-\sqrt2$ 分别站在左右两侧。$\sqrt2$ 闭上眼睛，将手轻放在板上，心里默默祈祷着。

恍惚间，那块板好像变得轻盈了。它慢慢变平，稳稳地托起了 $\sqrt2$，而后又飘到 $-\sqrt2$ 的头顶上。它似乎正在变薄、变轻，渐渐与两数融合，构成了一个不稳定的整体——$\frac{\sqrt2}{-\sqrt2}$。

这个整体很快开始坍缩，一股无形的力划下两条线，划去了其中的两个 $\sqrt2$。一道光芒闪过，他们终于化为了最简形式—— $-1$。

在场的所有人都惊呆了。一句看似玩笑的话语，竟真真实实造就了一个有理数！ $-1$ 活动活动身子，似乎在适应这个新的身体。“我们成功了吗？”身体里传来的是 $-\sqrt2$ 的声音。

“成功了。”母亲还未从震惊中恢复过来，$-1$ 就急匆匆地冲出了家门。父亲无奈地喃喃自语：“这孩子！”

十一

$-1$ 感觉自己浑身都充满了力气，迎着晚风向城门跑去。同样的路途，他却觉得比先前更加漫长。“这次不管怎样都不会被发现了。”$\sqrt2$ 在心里默默想着，共用一个身体的 $-\sqrt2$ 自然也感受得到他的思绪，在脑中坚实地说道：“一定。”

城门临近了。$-1$ 强行压制住自己澎湃的内心，像一个真正的有理数一般，大步流星地走入城门。守卫的态度立即变得恭谨了。$-1$ 很快就明白了其中缘由：他是一个整数。

他进入了有理数城的外郭。那仿佛是一个新世界，是他不曾见过的繁华。墙外是漆黑的夜，墙内却灯火通明。澎湃的食物香味从家家户户的窗子中飘出，内燃机的响声在车来车往的街道上回荡，节日的花灯照映在每个数的脸上，照亮他们闪烁着欣喜的眼眸。$-1$ 有些不知所措，眼前的一切有如梦境一般，却又那样的真实可感。他站在宽敞的街道上，试图将一切风景尽收眼底。突然，他看到了内郭的大门，上面用龙飞凤舞的字迹写着两个字：整数。

$-1$ 径直向前走去，躲过马路上疾行的车辆，来到了门口。这整数的大门比有理数的更加宏大、威武，门卫 $33$ 和 $127$ 穿着雕纹的盔甲。门内，光芒更加耀眼。近百层的高楼比比皆是，遍布全城的霓虹灯闪烁着柔美的光辉。整数们西装革履，迈着轻盈的步伐穿梭于鳞次栉比的建筑之间。$-1$ 感到有些茫然。他穿过高楼间的缝隙，尽力向内望去……

在整个城市的中心，是完全数的宅邸。$6$ 和 $28$ 正坐在全玻璃围成的餐厅里，看着城市里的数来数往，不紧不慢地吃下各种各样 $-1$ 从未见过的食物。在那顶端的房间里，是静静坐在王座上的 $1$，大手一挥，批下一页又一页公文。远处，似乎随即响起了破土动工的声音……

十二

$-1$ 站在门口，心中五味杂陈。有理数的生活已经让他觉得如梦似幻，整数，甚至完全数们的生活又将是如何呢？他不知道。他只记得，他从有理数的门外，来到了整数的门外，如今就要踏入整数的大门。尽管他费尽心思变成了 $-1$，也绝对无法进入下一扇门了。每穿过一扇门，他见识到的都是更高一级的繁华。前方又有多少扇门他一辈子也无法跨过呢？他不知道。无理数也好，有理数也好，等待他们的是否都是在无法跨过的门前空怀羡慕的一生呢？他如是想着。

$-1$ 终究没有踏入整数的土地。他缓缓地往回走，心中有些迷茫。光线慢慢地变淡了，他在门卫惊异的眼光中回到了无理数的原野。熙熙攘攘的有理数们大概无论如何都想不明白，为什么他们羡慕了一辈子的整数会自愿前往那穷乡僻壤。

有理数城在他身后变得越来越小，他深吸一口气，变回了 $\sqrt2$ 和 $-\sqrt2$。

十三

当他们打开门时，晚饭已进行到一半。屋子里的所有数都凝视着他们。

“情况如何？”父亲先开口。

“很顺利。”$\sqrt2$ 回答，“只是……我们不想再回去了。”

“你不是说羡慕有理数的生活吗？”父亲露出疑惑的神情。

“这种羡慕是永无止境的。” $\sqrt2$ 若有所思地说，“无理数羡慕着有理数的生活，有理数又羡慕着整数的生活。在整数之上，又有着更加富裕的完全数。无论身居何位，始终都有更诱人、更无法达到的境地啊。或许……真正属于自己的，才是最好的。”

不等父亲开口，$\sqrt2$ 便拉着 $-\sqrt2$ 的手，面带微笑地坐在餐桌旁，捧起一碗汤一饮而尽，今晚的汤，似乎格外地香甜。