题遇 #4
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题遇
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Zelda110
原题
已知实数 $a,b>0$，存在 $x_0>0$，使得 $e^{x_0-a}=\sqrt2\sin x_0+b\sqrt{2x}$，求证：$2e^{2a}(b^2+1)>e$.
解析
设直线 $l:\sin x_0\cdot x+\sqrt{x_0}\cdot y-e^{x_0}=0$，由题设得 $l$ 过 $P(\sqrt2e^a,\sqrt2b e^a)$.
设 $d$ 为 $l$ 到原点距离，则 $d^2\le OP^2$，所以
$$\frac{e^{2x_0}}{\sin^2 x_0+x_0}\le 2e^{2a}(b^2+1)$$
又
$$\frac{e^{2x_0}}{\sin^2 x_0+x_0}=\frac{e^{2x_0-1}\cdot e}{\sin^2 x_0+x_0}>\frac{2x_0 e}{2x_0}=e$$
所以 $2e^{2a}(b^2+1)>e$，得证.
原题来自高三六班，据说是根据老题改编的，虽然证明实在相当漂亮，但真的有人可以在没有做过这类题的基础上注意到这个数形结合吗？
