题遇#6

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题遇

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原题

定义在 $(-1,1)$ 上的函数 $f(x)$ 满足对定义域内任意 $x,y$，都有 $f(x)-f(y)=f(\frac{x-y}{1-xy})$，且对任意 $x\in(-1,0)$，$f(x)<0$. 比较 $P=f(\frac1{\sqrt{e}}), Q=f(\frac{8-4\ln2}{e^2}), R=f(\ln2)$ 的大小.

解析

对任意 $-1<x<y<1$，由于 $xy<1$，有

$$x-y<0, 1-xy>0$$

因此 $\frac{x-y}{1-xy}<0$，于是

$$f(x)-f(y)=f(\frac{x-y}{1-xy})<0$$

所以 $f(x)$ 在定义域上单调递增.

设 $g(x)=\frac{2\ln x}x$，则 $g'(x)=2\frac{1-\ln x}{x^2}$. 因此 $g(x)$ 在 $(0,e)$ 上单调递增，在 $(e,+\infin)$ 上单调递减.

注意到

$$\frac1{\sqrt{e}}=g(\sqrt{e}), \frac{8-4\ln2}{e^2}=g(\frac{e^2}2), \ln2=g(2)$$

所以

$$g(\sqrt{e})<g(2)=g(4)<g(\frac{e^2}2)$$

因此 $\frac1{\sqrt{e}}<\ln2<\frac{8-4\ln2}{e^2}$，即得 $P<R<Q$.