原题
定义在 $(-1,1)$ 上的函数 $f(x)$ 满足对定义域内任意 $x,y$，都有 $f(x)-f(y)=f(\frac{x-y}{1-xy})$，且对任意 $x\in(-1,0)$，$f(x)\lt 0$. 比较 $P=f(\frac1{\sqrt{e}}), Q=f(\frac{8-4\ln2}{e^2}), R=f(\ln2)$ 的大小.
解析
对任意 $-1\lt x\lt y\lt 1$，由于 $xy\lt 1$，有
$$x-y\lt 0, 1-xy\gt 0$$
因此 $\frac{x-y}{1-xy}\lt 0$，于是
$$f(x)-f(y)=f(\frac{x-y}{1-xy})\lt 0$$
所以 $f(x)$ 在定义域上单调递增.
设 $g(x)=\frac{2\ln x}x$，则 $g'(x)=2\frac{1-\ln x}{x^2}$. 因此 $g(x)$ 在 $(0,e)$ 上单调递增，在 $(e,+\infty)$ 上单调递减.
注意到
$$\frac1{\sqrt{e}}=g(\sqrt{e}), \frac{8-4\ln2}{e^2}=g(\frac{e^2}2), \ln2=g(2)$$
所以
$$g(\sqrt{e})\lt g(2)=g(4)\lt g(\frac{e^2}2)$$
因此 $\frac1{\sqrt{e}}\lt \ln2\lt \frac{8-4\ln2}{e^2}$，即得 $P\lt R\lt Q$.