原题
一个球内切于一个圆台的底面、顶面和侧面，且球和圆台的表面积之比为 $\frac12$. 求球和圆台的体积比。
解析
我们考虑球的体积.
在计算球的体积时，我们将球切成以球心为顶点，球面为底面的若干个锥体. 当切分至无穷多个时，每个锥体的底面趋近于球面，可以近似为一个面积与该块球面相等的平面. 因此球的体积等于 $\frac13$ 倍表面积乘半径的积.
以此类推，对于球的外接圆台，我们将其切成三个部分：以上顶面为底面，球心为顶点的圆锥；以下顶面为底面，球心为顶点的圆锥；剩余部分.
前两部分的体积为各自的底面积乘内切球半径的 $\frac13$. 剩下部分的体积可以切成若干个内切球心为顶点，侧面的一部分为底面的锥体. 由于球与侧面相切，切分至无穷多个时，每个锥体的体积都趋近于底面积乘内切球半径的 $\frac13$，总体积为侧面积乘内切球半径的 $\frac13$.
综上所述，球和圆台的体积等于各自表面积乘 $\frac13$ 倍球的半径. 因此球和圆台的体积比等于面积比 $\frac12$.